التحاكي والتحويلات النقطية

التحاكي

تعريف

ليكن l عدد حقيقيا و O نقطة من المستوي. التحاكي ذو المركز O والنسبة l هو التحويل النقطي للمستوي الذي يرفق كل نقطة M من المستوي بالنقطة M’ من المستوي المعرفة بالعلاقة بالشعاعية

بعض خواص التحاكي

- التحاكي يحافظ على الزوايا، بمعنى إذا كانت A ، B ، C نقاطا صورها عبر دوران  هي A’ ، B’ ، C’ فإن

(انظر الشكل).

نستنتج من ذلك أن التحاكي يحافظ على التعامد. بمعنى إذا كان مستقيمان متعامدين فإن صورتيهما مستقيمان متعامدان

في الشكل، المستقيمان (D) و D متعامدان.

صورتاهما عبر التحاكي ذي المركز O والنسبة -1/2 هما المستقيمان (D’) و D’. لاحظ تعامد هاذين المستقيمين.

- التحاكي يضرب الأطوال في العدد |l|، ويقوم في الواقع بتكبير أو تصغير الأشكال حسب قيمة |l| :

 يكبّر الشكل إن كان 1<|l| ويصغره لما 1>|l|. أما إن كان 1=|l| فلا يكبر الشكل ولا يصغره.

- عندما تكون نسبة التحاكي l موجبة فإن الشعاع  

وصورته

من نفس الاتجاه مهما كان الشعاع

(انظر الشكل).

-       عندما تكون نسبة التحاكي l سالبة فإن الشعاع  

وصورته

من اتجاهين متعاكسين مهما كان الشعاع

 (انظر الشكل).

- التحاكي لا يحافظ على المسافات إلا في حالتين خاصتين. ما هما؟

- إذا كانت نسبة التحاكي تساوي -1 فإن التحاكي يصبح تناظرا مركزيا.

- صورة مستقيم عبر تحاك هو مستقيم مواز له.

- صورة دائرة عبر تحاك نسبته l هي دائرة مركزها صورة مركز الدائرة الأصلية عبر التحاكي ونصف قطرها هو جداء نصف قطر الدائرة الأصلية في |l| (انظر الشكل)

- المستقيمات الصامدة عبر تحاك هي المستقيمات التي تمرّ بمركز التحاكي.

- إذا كانت نسبة تحاك تختلف عن 1 (أي إذا لم يكن التحاكي يساوي التطبيق المطابق) فإن النقطة الصامدة الوحيدة للتحاكي هو مركزه.

- لدينا العلاقة الشعاعية التالية

عندما تكون النقطتان A’ و B’ صورتي النقطتين A و B عبر تحاك نسبته l. ومنه

تمرين

الحل

إليك الشكل التالي

1) نريد إنشاء صورة الشكل المغلق المحيط بالنقطة M عبر التحاكي الذي مركزه O ونسبته 3 تقريبا. هل يمكنك القيام بذلك؟

2)  ما رأيك في التحويل التالي الذي يحول الشكل المغلق الأيمن إلى الشكل المغلق الأيسر؟